书接前文。跟 ROC 类似，Lift（提升）和 Gain（增益）也一样能简单地从以前的 Confusion Matrix 以及 Sensitivity、Specificity 等信息中推导而来，也有跟一个 baseline model 的比较，然后也是很容易画出来，很容易解释。以下先修知识，包括所需的数据集：

1. 分类模型的性能评估——以 SAS Logistic 回归为例 (1): 混淆矩阵
2. 分类模型的性能评估——以 SAS Logistic 回归为例 (2): ROC 和 AUC

一些准备

说，混淆矩阵 (Confusion Matrix) 是我们永远值得信赖的朋友：

几个术语需要随时记起：

1. Sensitivity（覆盖率，True Positive Rate）= 正确预测到的正例数 / 实际正例总数 Recall (True Positive Rate，or Sensitivity) =true positive/total actual positive=d/c+d
2. PV+ (命中率，Precision, Positive Predicted Value) = 正确预测到的正例数 / 预测正例总数 Precision (Positive Predicted Value, PV+) =true positive/ total predicted positive=d/b+d
3. Specificity (负例的覆盖率，True Negative Rate) = 正确预测到的负例个数 / 实际负例总数 Specificity (True Negative Rate) =true negative/total actual negative=a/a+b

首先记我们 valid 数据中，正例的比例为 pi1（念做 pai 1），在我们的例子中，它等于 c+d/a+b+c+d=0.365。单独提出 pi1，是因为有时考虑 oversampling 后的一些小调整，比如正例的比例只有 0.001，但我们把它调整为 0.365（此时要在 SAS proc logistic 回归的 score 语句加一个 priorevent=0.001 选项）。本文不涉及 oversampling。现在定义些新变量：

Ptp=proportion of true positives=d/a+b+c+d=(c+d/a+b+c+d)*(d/c+d) =pi1* Sensitivity，正确预测到的正例个数占总观测值的比例

Pfp=proportion of false positives=b/a+b+c+d= (a+b/a+b+c+d)*(b/a+b) = (1-c+d/a+b+c+d)*(1-a/a+b) = (1-pi1)*(1- Specificity) ，把负例错误地预测成正例的个数占总数的比例

Depth=proportion allocated to class 1=b+d/a+b+c+d=Ptp+Pfp，预测成正例的比例

PV_plus=Precision (Positive Predicted Value, PV+) = d/b+d=Ptp/depth，正确预测到的正例数占预测正例总数的比例

Lift= (d/b+d)/(c+d/a+b+c+d)=PV_plus/pi1，提升值，解释见下节。

以上都可以利用 valid_roc 数据计算出来：

%let pi1=0.365;

data valid_lift;

set valid_roc;

cutoff=PROB;

Ptp=&pi1*SENSIT;

Pfp=(1-&pi1)*1MSPEC;

 depth=Ptp+Pfp;

 PV_plus=Ptp/depth;

 lift=PV_plus/&pi1;

keep cutoff SENSIT 1MSPEC depth PV_plus lift;

run;

先前我们说 ROC curve 是不同阈值下 Sensitivity 和 1-Specificity 的轨迹，类似，

Lift chart 是不同阈值下 Lift 和 Depth 的轨迹

Gains chart 是不同阈值下 PV + 和 Depth 的轨迹

Lift

Lift = (d/b+d)/(c+d/a+b+c+d)=PV_plus/pi1)，这个指标需要多说两句。它衡量的是，与不利用模型相比，模型的预测能力 “变好” 了多少。不利用模型，我们只能利用 “正例的比例是 c+d/a+b+c+d” 这个样本信息来估计正例的比例（baseline model），而利用模型之后，我们不需要从整个样本中来挑选正例，只需要从我们预测为正例的那个样本的子集（b+d）中挑选正例，这时预测的准确率为 d/b+d。

显然，lift(提升指数)越大，模型的运行效果越好。如果这个模型的预测能力跟 baseline model 一样，那么 d/b+d 就等于 c+d/a+b+c+d（lift 等于 1），这个模型就没有任何 “提升” 了（套一句金融市场的话，它的业绩没有跑过市场）。这个概念在数据库营销中非常有用，举个例子：

比如说你要向选定的 1000 人邮寄调查问卷（a+b+c+d=1000）。以往的经验告诉你大概 20% 的人会把填好的问卷寄回给你，即 1000 人中有 200 人会对你的问卷作出回应（response，c+d=200），用统计学的术语，我们说 baseline response rate 是 20%（c+d/a+b+c+d=20%）。

如果你现在就漫天邮寄问卷，1000 份你期望能收回 200 份，这可能达不到一次问卷调查所要求的回收率，比如说工作手册规定邮寄问卷回收率要在 25% 以上。

通过以前的问卷调查，你收集了关于问卷采访对象的相关资料，比如说年龄、教育程度之类。利用这些数据，你确定了哪类被访问者对问卷反应积极。假设你已经利用这些过去的数据建立了模型，这个模型把这 1000 人分了类，现在你可以从你的千人名单中挑选出反应最积极的 100 人来（b+d=100），这 10% 的人的反应率 (response rate)为 60%（d/b+d=60%，d=60）。那么，对这 100 人的群体（我们称之为 Top 10%），通过运用我们的模型，相对的提升 (lift value) 就为 60%/20%=3；换句话说，与不运用模型而随机选择相比，运用模型而挑选，效果提升了 3 倍。

上面说 lift chart 是不同阈值下 Lift 和 Depth 的轨迹，先画出来：

symbol i=join v=none c=black;

proc gplot data=valid_lift;

 plot lift*depth;

run; quit;

上图的纵坐标是 lift，意义已经很清楚。横坐标 depth 需要多提一句。以前说过，随着阈值的减小，更多的客户就会被归为正例，也就是 depth（预测成正例的比例）变大。当阈值设得够大，只有一小部分观测值会归为正例，但这一小部分（一小撮）一定是最具有正例特征的观测值集合（用上面数据库营销的例子来说，这一部分人群对邮寄问卷反应最为活跃），所以在这个 depth 下，对应的 lift 值最大。

同样，当阈值设定得足够的小，那么几乎所有的观测值都会被归为正例（depth 几乎为 1）——这时分类的效果就跟 baseline model 差不多了，相对应的 lift 值就接近于 1。

一个好的分类模型，就是要偏离 baseline model 足够远。在 lift 图中，表现就是，在 depth 为 1 之前，lift 一直保持较高的（大于 1 的）数值，也即曲线足够的陡峭。

注：在一些应用中（比如信用评分），会根据分类模型的结果，把样本分成 10 个数目相同的子集，每一个子集称为一个 decile，其中第一个 decile 拥有最多的正例特征，第二个 decile 次之，依次类推，以上 lift 和 depth 组合就可以改写成 lift 和 decile 的组合，也称作 lift 图，含义一样。刚才提到，“随着阈值的减小，更多的客户就会被归为正例，也就是 depth（预测成正例的比例）变大。当阈值设得够大，只有一小部分观测值会归为正例，但这一小部分（第一个 decile）一定是最具有正例特征的观测值集合。”

Gains

Gains (增益) 与 Lift （提升）相当类似：Lift chart 是不同阈值下 Lift 和 Depth 的轨迹，Gains chart 是不同阈值下 PV + 和 Depth 的轨迹，而 PV+=lift*pi1= d/b+d（见上），所以它们显而易见的区别就在于纵轴刻度的不同：

symbol i=join v=none c=black;

proc gplot data=valid_lift;

 plot pv_plus*depth;

run; quit;

上图阈值的变化，含义与 lift 图一样。随着阈值的减小，更多的客户就会被归为正例，也就是 depth（预测成正例的比例，b+d/a+b+c+d）变大（b+d 变大），这样 PV+（d/b+d，正确预测到的正例数占预测正例总数的比例）就相应减小。当阈值设定得足够的小，那么几乎所有的观测值都会被归为正例（depth 几乎为 1），那么 PV + 就等于数据中正例的比例 pi1 了（这里是 0.365。在 Lift 那一节里，我们说此时分类的效果就跟 baseline model 差不多，相对应的 lift 值就接近于 1，而 PV+=lift*pi1。Lift 的 baseline model 是纵轴上恒等于 1 的水平线，而 Gains 的 baseline model 是纵轴上恒等于 pi1 的水平线）。显然，跟 lift 图类似，一个好的分类模型，在阈值变大时，相应的 PV + 就要变大，曲线足够陡峭。

注：我们一般看到的 Gains Chart，图形是往上走的，咋一看跟上文相反，其实道理一致，只是坐标选择有差别，不提。

总结和下期预告：K-S

以上提到的 ROC、Lift、Gains，都是基于混淆矩阵及其派生出来的几个指标（Sensitivity 和 Specificity 等等）。如果愿意，你随意组合几个指标，展示到二维空间，就是一种跟 ROC 平行的评估图。比如，你 plot Sensitivity*Depth 一把，就出一个新图了，——很不幸，这个图叫做 Lorentz Curve（劳伦兹曲线），不过你还可以尝试一下别的组合，然后凑一个合理的解释。

Gains chart 是不同阈值下 PV + 和 Depth 的轨迹（Lift 与之类似），而 ROC 是 sensitivity 和 1-Specificity 的对应，前面还提到，Sensitivity（覆盖率，True Positive Rate）在欺诈监控方面更有用（所以 ROC 更适合出现在这个场合），而 PV + 在数据库营销里面更有用（这里多用 Gains/Lift）。

混淆矩阵告一段落。接下来将是 K-S(Kolmogorov-Smirnov)。参考资料同上一篇。