关于数学期望与方差的关系

COS论坛 | 统计之都 讨论区 统计学世界 数理统计 关于数学期望与方差的关系

该主题包含 13 条回复,9个帖子,最后由  itellin4 年, 11 月 之前 更新。

查看 14 个帖子 - 1 到 14(总计 14 个)
  • 作者
    帖子
  • 1 楼

    ryangain
    普通会员

    最近在学统计,看到这样一段话,不是很理解:
    “如果随机变量X的数学期望存在,其方差不一定存在;而当X的方差存在时,则E(X)必定存在,其原因在于|x|<=x^2+1总是成立的。”
    小弟初来乍到,还请学长学姐们帮忙解释一下。
    这段话是来自高教版的《概率论与数理统计教程》。

    2 楼

    dingpeng
    版主

    随机变量的k阶矩存在,那么其低于k阶的矩一定存在。(by Jensen Inequality,如Durrett的概率论)
    反之不成立。

    3 楼

    ryangain
    普通会员

    有道理,这个我看到过。

    4 楼

    谢益辉
    站长

    k阶矩E|X|^k就是个积分\int |X|^k dP,当k+1阶矩存在时,你算k阶矩这个积分可以把积分分为|X|>1和|X|<=1两部分分别积分然后加起来,前一部分积分<=|X|^(k+1)的积分,因为|X|^k<=|X|^(k+1)(当|X|>1时),后一部分积分<=1,所以加起来仍然是有限的。因此k+1阶矩有限意味着k阶矩有限。这是通过定义的办法证明。

    用Jensen不等式,看起来凸函数取f(x)=x^2就可以,但可能有个小问题:Jensen不等式本身要求E|X|和E|f(X)|都存在(可积),所以如果这样证明的话可能就变成鸡生蛋、蛋生鸡了。

    5 楼

    关 菁菁
    版主

    师兄太到位了,thanks

    6 楼

    xjuchenwei
    普通会员

    按照期望的性质:单调性不就证了吗?  0<=f(x)<=g(x),则E[f]<=E[g]

    7 楼

    ryangain
    普通会员

    我懂了,其实因为 |x|^k+1>=|x|^(k+1)恒成立,所以很容易证明:只要E(X^k)存在(即有上界);就可以推出E(X^k-1)有上界(即存在)。

    8 楼

    ryangain
    普通会员

    其实我还没见过Jensen不等式,呵呵,好好学习,争取早一天见到它,呵呵

    9 楼

    ryangain
    普通会员

    这个估计不好证。。。不过容易证明0<=f(x)<=g(x)+1       (不知道说的对不对)

    10 楼

    yuanxh705
    普通会员

    用jesen 不等式可以证明

    11 楼

    dingpeng
    版主

    这种方法简单一些。
    Jensen 不等式证明确实很麻烦。
    取 \phi(x) = |x|^{k/p}(convex), 还要做truncation(f_n(X)=min(|X|,n)),利用单调收敛定理才能证明—–好恶心的过程。
    不过,我笔记上如此记录,就根深蒂固了。

    12 楼

    oliyiyi
    普通会员

    没必要Jensen不等式,利用定义即可

    13 楼

    easttiger
    版主

    1. 这里存在的意思绝对值是小于无穷大
    2. 只要看到期望和方差都是更高层意义下的积分就可以了. 只不过初学时积分是假设x轴均匀"密度", 但积分并不一定更需要x轴均匀"密度", 可以是不均匀密度. 直观上期望就可以理解为这样一种x轴密度不均匀的积分, 密度函数就是pdf, 而3楼式子中提到的dP就是f(x)与dx的乘积, 可以看成是一段"质量元". 期望的被积函数是x, 方差稍微变一下其实就是以x^2为主要成分的被积函数.

    14 楼

    itellin
    普通会员

    把期望理解为长度,把方差理解为宽度,有长度并不一定有宽度,比如缝衣服的线,但有宽度一定是有长度的。

查看 14 个帖子 - 1 到 14(总计 14 个)

您必须先登录才能回复该主题。