COS论坛 | 统计之都

统计学论坛

1. 1楼

   

   ryangain
   

   新手上路
   注册于: 2009/12/06
   发帖数: 20

   最近在学统计，看到这样一段话，不是很理解：
   “如果随机变量X的数学期望存在，其方差不一定存在；而当X的方差存在时，则E（X）必定存在，其原因在于|x|<=x^2+1总是成立的。”
   小弟初来乍到，还请学长学姐们帮忙解释一下。
   这段话是来自高教版的《概率论与数理统计教程》。

   3 年 前回复 # 回复
2. 2楼

   

   dingpeng
   

   版主
   注册于: 2008/04/19
   发帖数: 365

   随机变量的k阶矩存在，那么其低于k阶的矩一定存在。（by Jensen Inequality，如Durrett的概率论）
   反之不成立。

   3 年 前回复 # 回复
3. 3楼

   

   ryangain
   

   新手上路
   注册于: 2009/12/06
   发帖数: 20

   有道理，这个我看到过。

   3 年 前回复 # 回复
4. 4楼

   

   谢益辉
   

   个人主页
   注册于: 2006/05/19
   发帖数: 9,027

   k阶矩E|X|^k就是个积分\int |X|^k dP，当k+1阶矩存在时，你算k阶矩这个积分可以把积分分为|X|>1和|X|<=1两部分分别积分然后加起来，前一部分积分<=|X|^(k+1)的积分，因为|X|^k<=|X|^(k+1)（当|X|>1时），后一部分积分<=1，所以加起来仍然是有限的。因此k+1阶矩有限意味着k阶矩有限。这是通过定义的办法证明。
   
   用Jensen不等式，看起来凸函数取f(x)=x^2就可以，但可能有个小问题：Jensen不等式本身要求E|X|和E|f(X)|都存在（可积），所以如果这样证明的话可能就变成鸡生蛋、蛋生鸡了。

   3 年 前回复 # 回复
5. 5楼

   

   关 菁菁
   

   版主
   注册于: 2006/12/01
   发帖数: 218

   师兄太到位了，thanks

   3 年 前回复 # 回复
6. 6楼

   

   xjuchenwei
   

   初级会员
   注册于: 2008/12/17
   发帖数: 102

   按照期望的性质：单调性不就证了吗?  0<=f(x)<=g(x)，则E[f]<=E[g]

   3 年 前回复 # 回复
7. 7楼

   

   ryangain
   

   新手上路
   注册于: 2009/12/06
   发帖数: 20

   我懂了，其实因为 |x|^k+1>=|x|^(k+1)恒成立，所以很容易证明：只要E（X^k)存在（即有上界）；就可以推出E（X^k-1)有上界（即存在）。

   3 年 前回复 # 回复
8. 8楼

   

   ryangain
   

   新手上路
   注册于: 2009/12/06
   发帖数: 20

   其实我还没见过Jensen不等式，呵呵，好好学习，争取早一天见到它，呵呵

   3 年 前回复 # 回复
9. 9楼

   

   ryangain
   

   新手上路
   注册于: 2009/12/06
   发帖数: 20

   这个估计不好证。。。不过容易证明0<=f(x)<=g(x)+1       （不知道说的对不对）

   3 年 前回复 # 回复
10. 10楼

    

    yuanxh705
    

    新手上路
    注册于: 2007/03/27
    发帖数: 43

    用jesen 不等式可以证明

    3 年 前回复 # 回复
11. 11楼

    

    dingpeng
    

    版主
    注册于: 2008/04/19
    发帖数: 365

    这种方法简单一些。
    Jensen 不等式证明确实很麻烦。
    取 \phi(x) = |x|^{k/p}（convex）, 还要做truncation（f_n(X)=min(|X|,n)），利用单调收敛定理才能证明-----好恶心的过程。
    不过，我笔记上如此记录，就根深蒂固了。

    3 年 前回复 # 回复
12. 12楼

    

    oliyiyi
    

    初级会员
    注册于: 2007/05/09
    发帖数: 121

    没必要Jensen不等式，利用定义即可

    3 年 前回复 # 回复
13. 13楼

    

    easttiger
    

    版主
    注册于: 2009/06/13
    发帖数: 244

    1. 这里存在的意思绝对值是小于无穷大
    2. 只要看到期望和方差都是更高层意义下的积分就可以了. 只不过初学时积分是假设x轴均匀"密度", 但积分并不一定更需要x轴均匀"密度", 可以是不均匀密度. 直观上期望就可以理解为这样一种x轴密度不均匀的积分, 密度函数就是pdf, 而3楼式子中提到的dP就是f(x)与dx的乘积, 可以看成是一段"质量元". 期望的被积函数是x, 方差稍微变一下其实就是以x^2为主要成分的被积函数.

    3 年 前回复 # 回复
14. 14楼

    

    itellin
    

    常规会员
    注册于: 2006/09/01
    发帖数: 396

    把期望理解为长度，把方差理解为宽度，有长度并不一定有宽度，比如缝衣服的线，但有宽度一定是有长度的。

    3 年 前回复 # 回复

RSS 订阅本帖

回复

您必须登录才能回复。