试着证明了下:
首先证明 H 和 J/n 分别是幂等,这个很容易
H * H = x (x^{T} x)^{-1} x^{T} x (x^{T} x)^{-1} x^{T} = x (x^{T} x)^{-1} x^{T}
J/n * J/n = n * J / n / n = J/n 因为(J * J = nJ)
为了方便,把J/n 取为 Jn,则有:
(H - Jn) * (H -Jn) = H * H + Jn * Jn - H * Jn - Jn * H
= H + Jn - (H * Jn + Jn * H)
如果我们证明了(H * Jn + Jn * H) = 2 * Jn,则证明完成
注意到
H * Jn = H * H * Jn * Jn
因为 H 对称非奇异,所以 H^{-1} 存在,两边左乘上 H^{-1},有:
H^{-1} * H * Jn = H^{-1} * H * H * Jn * Jn
Jn = H * Jn * Jn = H * (Jn * Jn) = H * Jn
我们证明了 H * Jn = Jn
同理于 Jn * H
Jn * H = Jn * Jn * H * H
Jn = Jn * Jn * H = Jn * H
所以 Jn * H = Jn
所以 (H * Jn + Jn * H) = 2 * Jn,证明完成。