浅谈Buffon投针问题及其推广

公元1777年,法国科学家D·布丰(D.Buffon 1707~1788)设计了一个巧夺天工的实验:往间距为a的平行线族之间投掷长为L 的针,可以计算出针和平行线相交的概率为:
pi_2ltopia
根据此式,可以得到pi的近似估计值,这的确是一个伟大的、奇妙而划时代的实验,可算是蒙特卡罗模拟中的鼻祖和经典了。在大多数教材上,这个概率都是用积分或二重积分计算得来的,比较繁琐,在matrix67的博客中,我欣慰而惊奇地看到了一种非常简便、直观的解法,感慨了一番,也稍微思考了一番。

期望值的一个最引人注目的性质就是,E(A+B)=E(A)+E(B),不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝,不管它被弯成了什么形状,扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的,并且这个值是和L成正比的。这是因为,我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成;而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的,那么由期望值的线性关系,整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L,其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少,我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到,把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆,则把它扔到地上之后,它与这组平行线总有两个交点。这就是说,pi的c倍就等于2,即c等于2/pi。自然,一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi;而由于这根针与平行线要么没有交点,要么就只有一个交点,因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。——matrix67

matrix67是北大中文系的学生,他对数学思维的把握令我十分汗颜。期望的这条性质大家知道,但是离灵活运用却差得很远。根据上述理论,很容易得到,对于任何曲线,它和平行线族交点个数(Y)的期望都是:
pi_2stopia

其中S是该曲线周长。

如果要向平行线族之间投掷凸n边形(或者扩展到凸域,凸域就是过该图形任一点做切线,那么所有的点都在切线的同侧,也就是没有凹进去的部分),如果这个凸域的直径不大于平行线距离a的话,那么它和平行线族相交的概率为:

P_stopia

其中,S为凸区域的周长。
概率值刚好是交点个数期望的一半,这个也很直观,因为凸域和平行线的交点个数只有三种可能:

  1. 1个交点:当凸域和平行线相切,或者顶点重合
  2. 2个交点:这种情况是最常见的
  3. 无穷多个交点:有一边重合的时候

其中,第一种情况和第三种情况的几何概率为零,故概率值刚好是交点个数期望的一半(这里不太严谨,望大家指教)。把两根针并在一起,既可以构造一个闭区域,其与平行线相交的概率和交点个数都和上面理论一致。

如果投掷一般闭合区域的话,那么它和平行线族相交的概率依然为:

P_stopia

不过,此时S为该闭区域所生成的最小凸区域的周长。

因为尽管它们的周长不一样,和平行线交点的期望不一样,但是它们和平行线是否有交点的概率是一样的。下图中的类半圆图形就是月牙图形生成的最小凸区域,它们显然和平行线是否相交完全等价。

最后,要说的是直观思维的重要性,定理有千千万万,如果能用直观的形式将它们逐渐消化,那是最好不过的了,我在看书的时候经常能把一个定理啃下来,但是还是觉得对这个定理依然云里雾里的。对此,matrix67做了很精彩的评价:

数学学习真正悲哀的就是,记住了某个神奇而伟大的定理,看懂了其最严密的推导过程,但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的,直观理解往往是不准确的,但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释,这不但是一件很酷的事,而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。



  1. Pingback: 优秀是一种习惯 » 浅谈Buffon投针问题

  2. 终于看见有人获得了真正的感悟,其实很多东东真的给一个直观的认识反而觉得有点肤浅,比如正态分布与等腰三角形,说正态分布感觉上好像学问高一些,说等腰三角形感觉太普通了,体现不出层次来,但我怎么看正态分布与等腰三角形就是差不多。人往高处走,所以我们看见的非常复杂的东东其实都有非常简单的图形所对应,但作为传授者就是不告诉你,你只有自己去悟,悲哀呀。

  3. 的确很受启发。实际研究时候的灵感都来源于直觉,而technial proof只是一种辅助。

    • 直觉、灵感真的很重要,我们看见的书上的东西那么完美,但是当时它们都是残缺的,都是数学家的一个灵感什么的,然后才以演绎推理的手法去慢慢完善。因此,说数学主要是演绎是有问题的。

      可悲的是我们的教科书上的东西显得太完美,我们又忽视了探究学科的历史,因此,那些很有来历的定义、定理、公式的大美所在,我们往往体会不来。

  4. 直觉的启发太重要。引用你的文章了呵,http://www.jrtj.org/showtopic-138.aspx

  5. Today the teacher in our probability course actually used this technique to demonstrate the linear properties of expectation. Really amazing!

  6. We have only three courses, mathematical statistics, probability, linear regression analysis. But the requirement is rigorous

    • Mathematical Statistics (by Shao Jun) and A Course in Probability Theory (by Kai Lai Chung) are our main textbooks. Yours?

  7. 拜读过。但是关于“而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的,那么由期望值的线性关系,整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L”,我觉得好像不是那么直观。构成曲线的无穷短的直线线段之间并不是没有关联的,期望值的线性关系可用?推导出来的结果可以应用到直线的情况,会不会只是巧合 :)

    • 构成曲线的直线段之间当然是有关的,但这并不影响期望线性性质的使用

  8. 那平行线长度小于针长求相交概率该怎么办呢?